Physik M Formelsammlung

Punktmechanik

Ist von einem Objekt entweder der Ortsvektor $\vec{r}$ [m], die Geschwindigkeit $\vec{v}$ [m/s], die Beschleunigung $\vec{a}$ [m/s²] oder die Kraft $\vec{F}$ [N] als Funktion der Zeit bekannt, so können die anderen vier Größen entweder durch Ableiten oder Integrieren berechnet werden.

$\large \vec{r}(t)=\int\limits_{t_0}^{t} \vec{v}(t')dt' + \vec{r}(t_0)= \int\limits_{t_0}^{t} \left( \int\limits_{t_0}^{t'} \vec{a}(t'') dt'' + \vec{v}(t_0)\right) dt' + \vec{r}(t_0)= \int\limits_{t_0}^{t} \left(\int\limits_{t_0}^{t'} \frac{\vec{F}(t'')}{m} dt''+ \vec{v}(t_0)\right) dt' + \vec{r}(t_0),$

$\large \vec{v}(t)=\frac{ d\vec{r}}{dt} = \int\limits_{t_0}^{t} \vec{a}(t') dt' + \vec{v}(t_0)= \int\limits_{t_0}^{t} \frac{\vec{F}(t')}{m} dt'+ \vec{v}(t_0), $

$\large \vec{a}=\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{ d\vec{v}}{dt}=\frac{\vec{F}}{m}, $

$\large \vec{F}=m\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2} = m\frac{ d\vec{v}}{dt}=m\vec{a}. $

wobei $m$ die Maße des Objekts in Kilogramm ist.

Sie können Ihre Berechnungen mit dem <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/numerical_integration/numerical_integration.de.php">Numerische Integration and Differentiation App</a> überprüfen.

Apps: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/zero_force.de.php">Gesamtkraft Null = Geradlinige Bewegung</a>,  * 
<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/constant_force.de.php">Konstante Kraft = Parabelbewegung</a>,  * 
<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/terminal.de.php">Endgeschwindigkeit - Fall mit einer linearen Reibungskraft</a>,  * 
<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/harmonic.en.php">Harmonic motion</a>,  * 
<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/circular_motion.de.php">Kreisbewegung</a>,  * 
<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/constant_E.de.php">Bewegung eines geladenen Teilchens in einem konstanten elektrischen Feld</a>,  * 
<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/constant_B.de.php">Bewegung eines geladenen Teilchens im konstanten magnetischen Feld</a>,  * 
<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/constant_EB.de.php">Bewegung eines Teilchens im konstanten magnetischen und im elektrischen Feld</a>

Manchmal sind die vier Größen $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$ und $\vec{F}$ nicht als einfache Funktion der Zeit bekannt, dafür jedoch die Kraft als Funktion in Abhängigkeit der Zeit, des Ortes und der Geschwindigkeit. Dies ist zum Beispiel bei der Federkraft (hängt vom Ort ab) oder bei der Reibungskraft (hängt von der Geschwindigkeit ab) der Fall. Unter diesen Umständen ist es möglich die Newtonschen Bewegungsgleichungen als Vektordifferentialgleichung zu schreiben.

\[ \begin{equation}
\large m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\vec{F}(\vec{v},\vec{r},t).
\end{equation} \]

Diese Vektordifferentialgleichung ist äquivalent zu den folgenden sechs Differentialgleichungen erster Ordnung.

$\large \frac{dx}{dt}=v_x$   $\large \frac{dv_x}{dt}=F_x(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$
$\large \frac{dy}{dt}=v_y$   $\large \frac{dv_y}{dt}=F_y(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$
$\large \frac{dz}{dt}=v_z$   $\large \frac{dv_z}{dt}=F_z(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$

Wenn $\vec{F}(\vec{v},\vec{r},t)$, $\vec{r}(t=0)$ und $\vec{v}(t=0)$ bekannt sind, können diese Differentialgleichungen hier numerisch gelöst werden: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/ode6xyz.de.php">Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 6. Ordnung</a>.

In bestimmten Fällen ist die Bewegung auf eine Dimension beschränkt. Zum Beispiel wenn ein Ball gerade nach oben geworfen wird oder ein Gewicht auf einer Feder nach oben und unten schwingt. Dann ist es möglich das Problem mit einer Differentialgleichung zweiter Ordnung zu beschreiben:

\[ \begin{equation}
\large m\frac{d^2x}{dt^2}=F_x(v_x,x,t).
\end{equation} \]

Jede Differentialgleichung dieser Form kann numerisch mit diesem Programm gelöst werden: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/ode2nx.de.php">Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung</a>. Wenn die Differentialgleichung linear ist, ist es möglich eine analytische Lösung zu finden. Dazu kann dieses Programm verwendet werden : <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/2nd_ode_an.de.php">Differentialgleichungen zweiter Ordnung</a>.

Kräfte die von Ort oder Geschwindigkeit abhängen sind zum Beispiel: die Schwerkraft (Gravitation), die elektrostatische Kraft (Coulomb), die Federkraft (Hooke), die Lorentzkraft oder die Reibungskraft.

Gravitationskraft: 
Die Kraft die auf einen Körper mit der Maße $m_1$ [kg] auf der Position $\vec{r}_1$ [m] durch einen Körper mit der Maße $m_2$ [kg] auf der Position $\vec{r}_2$ [m] aufgrund der Gravitation wirkt ist:

\[ \begin{equation}
\large \vec{F} = -\frac{Gm_1m_2}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2 |^2}\hat{r}_{2\rightarrow 1} \hspace{1cm}\text{[N]}.
\end{equation} \]

Mit der Gravitationskonstante $G$ = 6.6726×10-11 N m²/kg² und $\hat{r}_{2\rightarrow 1}=\frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}$ dem Einheitsvektor, der von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ zeigt.

Elektrostatische Kraft: 
Die Coulombkraft die auf ein Objekt mit der Ladung $q_1$ [C] am Ort $\vec{r}_1$ [m] aufgrund einer Ladung $q_2$ [C] an der Position $\vec{r}_2$ [m] wirkt ist:

\[ \begin{equation}
\large \vec{F} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 |\vec{r}_1-\vec{r}_2 |^2}\hat{r}_{2\rightarrow 1} \hspace{1cm}\text{[N]}.
\end{equation} \]

Mit $\epsilon_0$ = 8.854187817×10-12 F/m der elektrischen Feldkonstante (oder Vakuumpermittivität) und $\hat{r}_{2\rightarrow 1}=\frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}$ dem Einheitsvektor, der von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ zeigt.

Lineare Federkraft: 
Eine lineare Feder übt eine Kraft auf einen Körper aus, der um die Entfernung $x$ [m] von der Ruheposition $x_0$ verschoben wurde.

\[ \begin{equation}
\large F = -k(x - x_0) \hspace{1cm}\text{[N]}.
\end{equation} \]

Mit $k$ der Federkonstante. Die Einheit von $k$ ist N/m.

Lorentzkraft: 
Die Lorentzkraft wirkt auf ein Teilchen mit der Ladung $q$ [C], das sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ [m/s] in einem elektrischen Feld $\vec{E}$ [V/m] und einem magnetischen Feld $\vec{B}$ [T] fortbewegt.

\[ \begin{equation}
\large \vec{F} = q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}) \hspace{1cm}\text{[N]}.
\end{equation} \]

Reibungskraft: 
Die Reibungskraft wirkt auf einen sich bewegenden Körper und zeigt in die entgegengesetzte Richtung des Geschwindigkeitsvektors $\vec{v}$:

\[ \begin{equation}
\large \vec{F}_{drag} = -b_1\vec{v} - b_2\vec{v}|\vec{v}|.
\end{equation} \]

Mit den Konstanten $b_1$ [N s/m] und $b_2$ [N s²/m²]. Bei kleinen Reynolds-Zahlen (Wikipedia: <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reynolds-Zahl">[de]</a><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number">[en]</a>) dominiert für gewöhnlich der lineare Term $-b_1\vec{v}$, während bei hohen Reynolds-Zahlen der quadratische Teil $-b_2\vec{v}|\vec{v}|$ das Verhalten bestimmt.

Arbeit und Energie

Die Arbeit $W$ die verrichtet wird, wenn man einen Körper von der Position $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ bewegt ist:

\[ \begin{equation}
\large W = \int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}\hspace{1cm}\text{[J]}.
\end{equation} \]

Dieser Ausdruck kann in die drei Raumrichtungen aufgespalten werden.

\[ \begin{equation}
\large W = \int\limits_{x_1}^{x_2}F_x dx + \int\limits_{y_1}^{y_2}F_y dy+\int\limits_{z_1}^{z_2}F_z dz\hspace{1cm}\text{[J]}.
\end{equation} \]

Die Leistung $P$ ist definiert als die Arbeit die pro Sekunde verrichtet wird:

\[ \begin{equation}
\large P = \frac{dW}{dt}\hspace{1cm}\text{[W]}.
\end{equation} \]

Im Allgemeinen hängt die verrichtete Arbeit vom genauen Weg von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ ab auf dem der Körper bewegt wird. Bei bestimmten Kräften ist die verrichtete Arbeit vom Weg unabhängig. Man spricht dann von konservativen Kräften. In diesen Fällen kann eine potenzielle Energie $U$ definiert werden mit $\nabla U=-F$. Die verrichtete Arbeit kann dann einfach mit $W = U(\vec{r}_2) - U(\vec{r}_1)$ berechnet werden.

Schwerkraft: 
Die Schwerkraft ist eine konservative Kraft. Die potenzielle Energie ist:

\[ \begin{equation}
\large U = -\frac{Gm_1m_2}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2 |} +U_0\hspace{1cm}\text{[J]}.
\end{equation} \]

Mit $U_0$, einer beliebigen Konstante. In der nähe der Erdoberfläche ist die Kraft auf einen Körper mit der Maße $m$ [kg] gleich $-\frac{Gm_1m_{\text{earth}}}{r_{\text{earth}}}\approx -9.81 m$. Die potenzielle Energie ist gegeben durch $U=mgh$ [J], mit $h$ [m] der Höhe des Körpers über der Erdoberfläche und $g=$ 9.81 [m/s²] der Beschleunigung die ein Körper durch die Schwerkraft der Erde erfährt (Erdbeschleunigung).

Elektrostatische Kraft: 
Die elektrostatische Kraft ist eine konservative Kraft. Die potenzielle Energie ist:

\[ \begin{equation}
\large U = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 |\vec{r}_1-\vec{r}_2 |}+U_0 \hspace{1cm}\text{[J]}.
\end{equation} \]

Mit $U_0$, einer beliebigen Konstanten.

Lineare Federkraft: 
Die lineare Federkraft ist eine konservative Kraft. Die potenzielle Energie ist:

\[ \begin{equation}
\large U = \frac{k(x - x_0)^2}{2} \hspace{1cm}\text{[J]}.
\end{equation} \]

Lorentzkraft: 
Das Magnetfeld übt eine Kraft auf ein geladenes Teilchen aus, die normal zu Bewegungsrichtung steht. Deshalb ist $\vec{F}_{\text{magnetic}}\cdot d\vec{r}=0$ und die magnetische Kraft ändert nicht die potentielle Energie des Teilchens. Die Kraft durch das elektrische Feld ist eine konservative Kraft und die potenzielle Energie ist gegeben durch:

\[ \begin{equation}
\large U = -q\int\vec{E}\cdot d\vec{r}+U_0 \hspace{1cm}\text{[J]}.
\end{equation} \]

Mit $U_0$, einer beliebigen Konstanten. Wenn das elektrische Feld konstant ist und ein Teilchen von $\vec{r}_1$ [m] nach $\vec{r}_2$ [m] bewegt wird, so ist die Änderung der potenziellen Energie gegeben durch:

\[ \begin{equation}
\large \Delta U = -q \vec{E}\cdot (\vec{r}_2-\vec{r}_1) \hspace{1cm}\text{[J]}.
\end{equation} \]

Reibungskraft: 
Da die Reibungskraft von der Geschwindigkeit $\vec{v}$ des Körpers abhängt und diese in die entgegengesetzte Richtung zeigt, handelt es sich um keine konservative Kraft und es läßt sich keine potentielle Energie definieren.

Elektrostatik

In der Elektrostatik werden die Zusammenhänge zwischen der Ladungsverteilung $\rho$, dem elektrischen Feld $\vec{E}$ und dem elektrostatischen Potenzial $\varphi$ beschrieben. Das elektrische Feld ist eine Vektorgröße und zeigt von Gebieten mit positiver Ladung zu Gebieten mit negativer Ladung. Die benötigte Arbeit, um ein geladenes Teilchen $q$ vom Ort $\vec{r}_1$ zum Ort $\vec{r}_2$ zu schieben, ist $q(\varphi(\vec{r}_2)−\varphi(\vec{r}_1))$. Diese Arbeit ist unabhängig vom Weg, der genommen wird, um von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ zu gelangen. Der Unterschied im elektrostatischen Potential zwischen zwei Positionen kann durch Integrieren der Coulomb-Kraft oder des elektrischen Felds entlang eines beliebigen Pfads zwischen diesen beiden Positionen bestimmt werden.

\[ \begin{equation}
\large \Delta \varphi=-\frac{1}{q}\int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}q\vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{E}\cdot d\vec{r}.
\end{equation} \]

Die einfachste Ladungsverteilung ist eine Punktladung $q$ [C] am Ort $\vec{r}_0$ [m]. Das zugehörige elektrische Feld ist:

\[ \begin{equation}
\large \vec{E}(\vec{r})= \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}_0}{|\vec{r}-\vec{r}_0|^3} \hspace{1cm}\text{[V/m]},
\end{equation} \]

Das elektrostatische Potenzial einer Punktladung ist:
 
\[ \begin{equation}
\large \varphi(\vec{r})= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_0|} \hspace{1cm}\text{[V]}.
\end{equation} \]

Wenn eine Ladungsverteilung aus mehreren verschiedenen Punktladungen besteht, so ist das gesamte elektrische Feld einfach sie Summe der elektrischen Felder der einzelnen Punktladungen. Das gleiche gilt für das elektrostatische Potenzial. So besteht ein elektrischer Dipol aus einer positiven Ladung $q$ [C] an der Position $\vec{r}_+$ [m] und einer negativen Ladung $-q$ [C] am Ort $\vec{r}_-$ [m]. Das elektrische Feld ist in diesem Fall:

\[ \begin{equation}
\large \vec{E}(\vec{r})= \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}_+}{ |\vec{r}-\vec{r}_+|^3} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}_-} {|\vec{r}-\vec{r}_-|^3}\hspace{1cm}\text{[V/m]},
\end{equation} \]

Das elektrostatische Potenzial des Dipols ist:

\[ \begin{equation}
\large \varphi(\vec{r})= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_+|} -\frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_-|}\hspace{1cm}\text{[V]}.
\end{equation} \]

Das elektrische Feld von zwei Ladungen mit verschiedenen Vorzeichen. Die Feldlinien zeigen von der positiven Ladung zur negativen Ladung. Die Feldlinien des elektrischen Feldes und das elektrostatische Potenzial können hier betrachtet werden: <a href="http://public.mitx.mit.edu/gwt-teal/PCharges.html">Two point charge simulation</a>.

Bei mehreren Ladungen werden die einzelnen Felder und elektrostatischen Potenziale wie oben beschrieben einfach aufsummiert. Das elektrische Feld, das durch $N$ Punktladungen erzeugt wird ist:

\[ \begin{equation}
\large \vec{E}(\vec{r})= \sum\limits_{i=1}^N\frac{q_i}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}_i} {|\vec{r}-\vec{r}_i|^3} \hspace{1cm}\text{[V/m]},
\end{equation} \]

Das elektrostatische Potenzial ist in diesem Fall:

\[ \begin{equation}
\large \varphi (\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_i|}\hspace{1cm}\text{[V]}.
\end{equation} \]

Auf der Internetseite der Vorlesung gibt es ein Programm zum Berechnen des <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/coulombE.de.php">Elektrischen Feldes einer Punktladungsverteilung</a>.

Wenn zu viele Punktladungen vorhanden sind, ist es meist einfacher eine kontinuierliche Ladungsverteilung $\rho$ [C/m³] zu verwenden um das Problem zu beschreiben. Dabei werden die Summen aus den vorherigen Formeln zu Integralen. Das elektrische Feld wird dabei zu:

\[ \begin{equation}
\large \vec{E}(\vec{r})= \int\frac{\rho(\vec{r})}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}}{ |\vec{r}|^3}d^3r \hspace{1cm}\text{[V/m]},
\end{equation} \]

das elektrostatische Potenzial ist dann gegeben durch:

\[ \begin{equation}
\large \varphi (\vec{r})=\int  \frac{\rho(\vec{r})}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}|}d^3r\hspace{1cm}\text{[V]}.
\end{equation} \]

Hier gibt es ein Programm mit dem das <a href="linecharge.de.php">elektrische Feld einer Ladungsverteilung auf einer gekrümmten Linie</a> mit der Ladungsverteilung $\lambda$ [C/m] berechnet werden kann. Dies kann verwendet werden um das elektrische Feld eines geladenen Ringes, Stabes, einer Spirale oder einer anderen beliebigen Form die durch parametrisierte Gleichungen dargestellt werden kann zu berechnen.

Das elektrische Feld um eine unendlich langen Linie, die parallel zur $z$-Achse und gleichförmig mit der Ladungsdichte $\lambda$ [C/m] geladen ist beträgt:

\[ \begin{equation}
\large \vec{E}(\vec{r})=\frac{\lambda(\vec{r}-\vec{r}_0)}{2\pi \epsilon_0|\vec{r}-\vec{r}_0|^2}\hspace{1cm}\text{[V/m]},
\end{equation} \]

wobei $\vec{r}_0$ [m] ein zweidimensionaler Vektor in der $x-y$-Ebene ist, der die Position der geladenen Linie angibt. Das zugehörige elektrostatische Potenzial ist:

\[ \begin{equation}
\large \varphi (\vec{r})= \frac{-\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(|\vec{r}-\vec{r}_0|\right)\hspace{1cm}\text{[V]}.
\end{equation} \]

Hier gibt es ein Programm, daß das <a href="coulombline.de.php">elektrische Feld von mehreren linearen Ladungsverteilungen</a> berechnet.

Im Allgemeinen ist die Beziehung zwischen der Ladungsverteilung $\rho$, dem elektrischen Feld $\vec{E}$ und dem elektrostatischen Potenzial $\varphi$ gegeben durch:

\[ \begin{equation}
\large \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0}\hspace{1cm}\text{Gaußsches Gesetz},
\end{equation} \]

\[ \begin{equation}
\large \vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r}),
\end{equation} \]

\[ \begin{equation}
\large -\nabla^2\varphi(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0}\hspace{1cm}\text{Poissongleichung}.
\end{equation} \]

mit $\epsilon_r$, der relativen Permittivität. Wenn die drei obigen Größen konstant in der $y-$ und $z-$Richtung sind und sich nur in der $x-$Richtung ändern, können diese drei Gleichungen geschrieben werden als:

$\large \varphi(x)=-\int\limits_{x_1}^{x}\left(\int\limits_{x_1}^{x'}\frac{\rho(x'')}{\epsilon_r\epsilon_0}dx''+E(x_1)\right)dx'+\varphi(x_1) = -\int\limits_{x_1}^{x} E(x')dx'+\phi(x_1), $

$\large E(x)=\int\limits_{x_1}^{x}\frac{\rho(x')}{\epsilon_r\epsilon_0}dx'+E(x_1) = - \frac{d\varphi(x)}{dx}, $

$\large \rho(x) = \epsilon_r\epsilon_0\frac{dE(x)}{dx} = -\epsilon_r\epsilon_0\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2},$

$\large F(x) = qE(x)= q\int\limits_{x_1}^{x}\frac{\rho(x')}{\epsilon_r\epsilon_0}dx'+qE(x_1) = - q\frac{d\varphi(x)}{dx}.$

Berechnungen von dieser Art können hier mit dem Programm zur <a href="numerical_integration_x.de.php">numerischen Integration und Differentiation</a> überprüft werden.

Wenn eine Ebene gleichförmig geladen ist, so liegt das elektrische Feld normal zur Ebene und zeigt von ihr weg. Bei einer negativ geladenen Ebene liegt das elektrische Feld ebenfalls normal zur Ebene, zeigt jedoch zur ihr hin. In einem Punkt $x_0$ beträgt der Wert des elektrischen Feldes:

\[ \begin{equation}
\large E_x = \frac{\text{sgn}(x-x_0)\sigma}{2\epsilon_r\epsilon_0}\hspace{0.5cm}\text{[V/m]},
\end{equation} \]

mit $\sigma$, der Ladungsdichte in der Einheit C/m² und $\text{sgn}(x)$, der Vorzeichenfunktion: $\text{sgn}(x<0) = -1$, $\text{sgn}(x>0) = 1$.

Für das nächste Problem werden zwei ungeladene Metallleiter betrachtet. Wenn man eine Ladung $q$ von einem Leiter zum anderen überträgt, so hängt die Differenz des elektrostatischen Potenzials zwischen den Metallen von der Kapazität ab:

\[ \begin{equation}
\large \Delta\varphi = V = \frac{q}{C}\hspace{0.5cm}\text{[V/m]}.
\end{equation} \]

mit $C$ der Kapazität in der Einheit F (Farad). Wenn die beiden Metalle zwei parallele Platten sind, dann ist das elektrische Feld dazwischen konstant: $E = -\frac{\sigma}{\epsilon_r\epsilon_0}$. Für die Spannung gilt in diesem Fall: $V=-\int E dx = \frac{\sigma d}{\epsilon_r\epsilon_0}$, wobei $d$ der Abstand zwischen den Platten ist. Die Gesamtladung einer Platte ist die Flächenladungsdichte multipliziert mit der Fläche: $q=\sigma A$. Eingesetzt für die Kapazität ergibt das:

\[ \begin{equation}
\large C =  \frac{\epsilon_r \epsilon_0 A}{d}\hspace{0.5cm}\text{[F]}.
\end{equation} \]

Herrscht eine Spannung zwischen den Platten eines Kondensators, so ist die Arbeit um eine kleine Ladung $dq$ zwischen den Platten auszutauschen gleich $Vdq$. Dieser Ladungsaustausch verändert die Spannung um $dq/C$. Damit ergibt sich die Arbeit, die nötig ist um einen Kondensator mit der Ladung $Q$ aufzuladen:

\[ \begin{equation}
\large W =  \int \limits_{0}^Q \frac{q}{C}dq=\frac{Q^2}{2C}=\frac{CV^2}{C}\hspace{0.5cm}\text{[J]}.
\end{equation} \]

Der Strom der auf einen Leiter heraus fließt, ist gleich der Änderung der Ladung des Leiters:

\[ \begin{equation}
\large \frac{dq}{dt} =  I_{\text{total}}\hspace{0.5cm}\text{[A]}.
\end{equation} \]

Magnetostatik

Der Magnetismus wird in Elektromotoren ausgenutzt. Elektrischer Strom induziert ein magnetisches Feld, das wiederum durch die Lorentzkraft eine Kraft auf naheliegende Leiter ausübt: $F = q\vec{v}\times\vec{B}$

Das magnetische Feld, das durch den Strom $I$ [A] der durch einen Draht fließt erzeugt wird, kann berechnet werden indem man den Weg des Stromes in lauter kleine Segmente aufteilt. Für jedes dieser kleinen Segmente wird der Einfluß auf das Magnetfeld berechnet und anschließend für alle Teile aufsummiert. Der Beitrag zum Magnetfeld an der Position $\vec{r}$ durch ein kleines Leitersegment von der Länge $d\vec{r}_{wire}$, das sich an dem Ort $\vec{r}_{wire}$ befindet, ist:

\[ \begin{equation}
\large d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}\hspace{1cm}\text{Biot-Savart-Gesetz}.
\end{equation} \]

$d\vec{r}_{wire}$ zeigt in die gleiche Richtung, in die der Strom fließt. $\mu_0$ ist die magnetische Feldkonstante und beträgt: $4\pi \times 10^{-7}$ T m/A.

Dieses Programm berechnet das <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/biotsavart.de.php">Magnetfeld, das von einem stromdurchfloßenen Draht erzeugt wird</a>. Der Verlauf des Drahtes kann in der Form von parametrischen Gleichungen angegeben werden.

Das magnetische Feld um einen geraden, unendlich langen Draht ist:

\[ \begin{equation}
\large |\vec{B}(\vec{r})|=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hspace{1cm}\text{[T]},\hspace{2cm}
\end{equation} \]

</td><td><img src="formulas/bwire.png"></dt></tr></table>

mit $I$ [A], dem Strom durch den Draht und $r$ [m], die kürzeste Entfernung zwischen $\vec{r}$ und dem Draht. Die Richtung, in die das Magnetfeld zeigt, ist bestimmt durch die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Korkenzieherregel">Rechte-Hand-Regel</a>: Wenn der Daumen der rechten Hand in die Richtung des Stromes zeigt, dann zeigen die restlichen Finger in die Richtung des Magnetfeldes.

Das Magnetfeld im Inneren einer langen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zylinderspule">Zylinderspule</a> beträgt:

\[ \begin{equation}
\large |\vec{B}|=\mu_0 n I \hspace{1cm}\text{[T]},
\end{equation} \]

mit $I$, dem Strom der durch die Spule fließt und $n$, der Anzahl der Windungen pro Meter. Die Richtung, in die das Magnetfeld zeigt, ist bestimmt durch die Rechte-Hand-Regel: Wenn der Daumen der rechten Hand in die Richtung des Magnetfeldes zeigt, dann zeigen die restlichen Finger in die Richtung des Stroms.

Die Kraft auf einen stromdurchfloßenen Draht durch ein externes Magnetfeld ist:

\[ \begin{equation}
\large \vec{F}= I \int\limits_0^Ld\vec{l}\times\vec{B}\hspace{1cm}\text{[N]},
\end{equation} \]

mit $L$, der Länge des Drahtes. Ist der Draht gerade und das Magnetfeld konstant entlang des Drahtes, vereinfacht sich dieser Ausdruck zu:

\[ \begin{equation}
\large \vec{F}= I \vec{r}\times\vec{B}\hspace{1cm}\text{[N]},
\end{equation} \]

mit $\vec{r}$, einem Vektor der entlang des Drahtes, der in Stromrichtung zeigt und der gleichen Länge des Drahtes.

Das Ampèresche Gesetz verknüpft das Magnetfeld mit der Stromdichte:

\[ \begin{equation}
\large \nabla\times\vec{B}=\mu_0 \vec{J},
\end{equation} \]

mit $\vec{J}$ der Stromdichte. Mit dem Satz von Stokes (Wikipedia: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem">[en]</a><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Stokes">[de]</a>) kann dieser Ausdruck in Integralform umgewandelt werden. Das Integral des Magnetfeldes über einen geschloßenen Weg steht dann in Beziehung zu dem Strom der durch diesen geschloßenen Pfad fließt.

\[ \begin{equation}
\large \oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{enc}.
\end{equation} \]

<a href="http://public.mitx.mit.edu/gwt-teal/AmperesLaw.html">Hier</a> wird die Integralform des Ampèreschen Gesetz mit einer Simulation veranschaulicht.

Schwingungen

In diesem Abschnitt werfen wir einen genaueren Blick auf ein gedämpftes Maße-Federn-System, das mit Differentialgleichungen beschrieben werden kann.

\[ \begin{equation}
\large m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos (\omega t).
\end{equation} \]

wobei $m$ [kg] die Maße, $b$ [N s/m] die Dämpfungskonstante, $k$ [N/m] die Federkonstante, $F_0$ [N] die Amplitude der antreibenden Kraft und $\omega$ [rad/s] die Frequenz der antreibenden Kraft ist.

Das Problem im Fall einer freien Schwingung ($F_0=0$) kann mit dem folgenden Programm gelöst werden: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/2nd_ode_an.de.php">Analytische Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung</a>. Die Schwingungsfrequenz im Falle der freien Schwingung beträgt:

\[ \begin{equation}
\large \omega=\frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}\hspace{1cm}\left[\frac{\text{rad}}{\text{s}}\right].
\end{equation} \]

Für $b=0$ erhalten wir das bekannte Ergebnis $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Im Allgemeinen muß man zwischen den folgenden drei Fällen unterscheiden: Der Kriechfall $(4mk-b^2)<0$, der aperiodische Grenzfall $(4mk-b^2)=0$ und der Schwingfall $(4mk-b^2)>0$.

<table align="center"><tr><td>Kriechfall <img src="formulas/overdamped.png"></td><td> </td>
<td>Schwingfall <img src="formulas/underdamped.png"></td></tr></table>

Um die Art der Schwingung zu beschreiben, verwendet man den sogenannten Gütefaktor $Q=\frac{\sqrt{mk}}{b}$. Je höher $Q$ ist, desto mehr Schwingungen tauchen auf, bevor die Schwingung abklingt, $Q=\frac{\pi\tau}{T}$. Hier ist $T$ die Periode der Schwingungen und $\tau$ beschreibt den exponentiellen Zerfall $\exp(-t/\tau)$.

Im Falle einer erzwungen Schwingung kann die Lösung hier numerisch berechnet werden: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/ode2nx.de.php">Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung</a>. Um das Problem der erzwungen Feder-Maße-Schwingung <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/resonance.en.php">analytisch zu behandeln</a> wird normalerweise auf die komplexen Zahlen zurückgegriffen. Dabei wird die Eulersche Formel verwendet:

\[ \begin{equation}
\large e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t).
\end{equation} \]

<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/imaginary/circular.de.php">Eine sinusförmige Schwingung kann als kreisförmige Bewegung in der komplexen Ebene betrachtet werden.</a>. Bei der komplexen Differentialgleichung

$\large m\frac{d^2z}{dt^2}+b\frac{dz}{dt} + kz = F_0 e^{i\omega t}$,

beschreibt die antreibende Funktion $F_0 e^{i\omega t}$ einen Punkt der sich kreisförmig in der komplexen Ebene mit dem Radius $F_0$ bewegt. Dieser hat dabei eine konstante Kreisfrequenz $\omega$. Der Realteil dieser Funktion ist dabei die ursprüngliche antreibende Funktion $F_0\cos (\omega t)$. Die Lösung $z=|A|e^{i\omega t-\theta}$ ist ebenfalls eine kreisförmige Bewegung in der komplexen Ebene, hat jedoch andere Amplitude $A$ und phase $\theta$ als die antreibende Funktion. <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/resonance.de.php">Die Amplitude und Phase können berechnet werden und betragen:</a>

<table align="center"><tr><td>
\[ \begin{equation}
\large \frac{|A|}{F_0} = \frac{1}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+\omega^2b^2}}.
\end{equation} \]

\[ \begin{equation}
\tan\theta = \frac{\omega b}{k-m\omega^2}
\end{equation} \]

</td><td> </td><td><img src="formulas/resonance.png"></td></tr></table>

Wenn $Q>\frac{1}{2}$, dann gibt es in der Lösung eine Resonanz (Maximum in der Amplitude der Lösung) bei der Frequenz der antreibenden Funktion.

Wellen

Die Wellengleichung ist eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung">Partielle Differentialgleichung</a>. In einer Dimension lautet sie,

\[ \begin{equation}
\large \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2},
\end{equation} \]

mit $c$ der Geschwindigkeit der Welle. In drei Dimensionen lautet die Wellengleichung,

\[ \begin{equation}
\large \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2\nabla ^2 u = c^2\left( \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}\right).
\end{equation} \]

Lösungen der Wellengleichung werden oft als Überlagerung harmonischer Wellen dargestellt. Sind mehrere Quellen anwesend, ist die resultierende Welle eine Überlagerung der einfachen Form.
Das resultierende Wellenmuster wird Interferenzmuster, wenn wenige Quellen beitragen und Beugungsmuster, wenn viele Quellen beitragen, genannt.

Die Form einer harmonischen Welle in einer Dimension ist:

\begin{equation}
\large u=A\cos(kx-\omega t).
\end{equation}

Diese Welle bewegt sich in die positive $x-$Richtung mit der Geschwindigkeit $c=\frac{\omega}{k}$ [m/s]. Wobei $A$ [m] die Amplitude, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ [m-1] die Wellenzahl, $\omega=\frac{2\pi}{T}$ [rad/s] die Kreisfrequenz, $\lambda=$ [m] die Wellenlänge und $T$ [s] die Periodendauer ist. Die Welle bewegt sich in die negative $x-$Richtung, wenn $\frac{\omega}{k}<0$.

In zwei Dimensionen spricht man von Kugelwellen. Diese Bewegen sich kugelförmig von der Quelle weg und werden beschrieben durch:

\begin{equation}
\large u_j=\frac{A_j\cos (k|\vec{r}-\vec{r}_j|-\omega t +\phi_j)}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}},
\end{equation}

</td><td> </td><td><img src="formulas/2dwaves.png"></td></tr></table>

mit $A_j$, der Amplitude der Welle an Punkt $j$ und $\phi_j$ der Phase. Das komplexe, skalare Feld, welches die selbe Welle beschreibt ist,

\begin{equation}
\large \mathcal{U}=\frac{Ae^{i(k|r-r_j|-\omega t +\phi)}}{\sqrt{|r-r_j|}}.
\end{equation}

Kugelwellen, welche sich in drei Dimensionen von einer punktförmigen Quelle wegbewegen, werden beschrieben als,

\begin{equation}
\large u=\frac{A_j\cos (k|\vec{r}-\vec{r}_j|-\omega t +\phi_j)}{|\vec{r}-\vec{r}_j|},
\end{equation}

Die komplexe Form ist,

\begin{equation}
\large \mathcal{U}=\frac{Ae^{i(k|r-r_j|-\omega t +\phi)}}{|r-r_j|}.
\end{equation}

Jede Welle oder Wellenimpuls kann als Summe von diesen einfachen harmonischen Wellen beschrieben werden. Hier sind verschiedene Programme zu finden, die die <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/interference.de.php">Interferenz von zwei Wellen in einer Dimension</a> und <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/interference2d.de.php">Interferenz von zwei Wellen in zwei Dimensionen</a> beschreiben. Wenn mehr Wellen miteinbezogen werden sollen, hat es sich als praktisch erwiesen, die Wellen mit komplexen Zahlen zu behandeln. Wenn man dabei nur einen Punkt im Raum betrachtet, so führt die Welle eine sinusförmige Schwingung aus. Diese kann wie oben beschrieben als kreisförmige Bewegung in der komplexen Ebene angesehen werden. Die überlagerung von $N$ zweidimensionalen Wellen ist:

\[ \begin{equation}
\large \mathcal{A}=\sum\limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_j|-\omega t +\phi_j)},
\end{equation} \]

wobei $\vec{r}_j$ die Position der $j$en Quelle, $A_j$ die Amplitude der $j$en Quelle und $\phi_j$ die Phase der $j$en Quelle ist. $\mathcal{A}=|\mathcal{A}|e^{i\theta}$ ordnet jedem Raumpunkt eine komplexe Zahl zu. $|\mathcal{A}|$ ist die Amplitude der Schwingung und $\theta$ ist die Phase. Die eigentliche Schwingung ist der Realteil von $\mathcal{A}$. Dieser beträgt $|\mathcal{A}|\cos(\omega t +\theta)$.

Für den dreidimensional Fall sieht die Formel ähnlich aus:

\[ \begin{equation}
\large \mathcal{A}=\sum\limits_{j=1}^N \frac{A_j}{|\vec{r}-\vec{r}_j|} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_j|-\omega t +\phi_j)}.
\end{equation} \]

Die Intensität der überlagerten Wellen ist proportional zum Quadrat der Amplitude: $I\propto\mathcal{A}^*\mathcal{A}$. Hier sind zwei Programme zu finden, um das <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/interferenceintensity2d.de.php">Intensitätsmuster von sich zwei überlagernden Oberflächenwellen</a> und die <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/huygensintensity.de.php">Intensität vieler interferierender Punktquellen</a> zu berechnen. Die Interferenzmuster werden eingeteilt in Fernfeld und Nahfeld. Im Nahfeld ist die Entfernung von den Quellen zum Betrachter klein im Vergleich zur Wellenlänge. In diesem Bereich kann die Interferenz in der Regel nur numerisch berechnet werden. Unten ist das Interferenzmuster von zwei Punktquellen zu sehen.

Im Fernfeld ist die Entfernung von allen Quellen zum Beobachter viel kleiner als die Wellenlänge. In diesem Fall ist es oft möglich das Interferenzmuster analytisch zu berechnen. <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/double_slit.en.php">Das Interferenzmuster im Fernfeld erzeugt durch zwei enge Spalten</a> ist:

<table align="center"><tr><td>
\[ \begin{equation}
\large I \propto \cos^2\left( \frac{kdy}{2L}\right)
\end{equation} \]

$d$ ist der Abstand zwischen den Spalten 
$L$ ist der Abstand zum Schirm 
$y$ ist die Position am Schirm 
$k=\frac{2\pi}{\lambda}$ ist die Wellenzahl 
Fernfeld: $L >> d,\lambda,y$

</td><td> </td><td><img src="formulas/doubleslit.png"></td></tr></table>

<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/single_slit.de.php">Das Interferenzmuster bei der Beugung am Einfachspalt</a> ist:

<table align="center"><tr><td>
\[ \begin{equation}
\large I \propto \frac{\sin^2\left( \frac{\beta}{2}\right)}{\left( \frac{\beta}{2}\right)^2}
\end{equation} \]

$\beta=2\pi a\sin (y/L)/\lambda$ 
$a$ ist die Breite des Spalts 
$L$ ist der Abstand zum Schirm 
$y$ ist die Position am Schirm 
$\lambda$ ist die Wellenlänge 
Fernfeld: $L >> a,\lambda,y$

</td><td> </td><td><img src="formulas/singleslit.png"></td></tr></table>

Wenn Wellen am Einfachspalt gebeugt werden, so breiten sie sich ungefähr in einem Winkel von $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ aus.
<img src="formulas/divergenceslit.png">

<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/2single_slit.de.php">Das Interferenzmuster von zwei Spalten mit endlicher Breite</a> ist:

<table align="center"><tr><td>
\[ \begin{equation}
\large I \propto \frac{\sin^2\left( \frac{\beta}{2}\right)}{\left( \frac{\beta}{2}\right)^2}\cos^2\left( \frac{\delta}{2}\right)
\end{equation} \]

$\beta=2\pi a\sin (y/L)/\lambda$ 
$\delta=2\pi d\sin (y/L)/\lambda$ 
$d$ ist der Abstand zwischen den Spalten 
$a$ ist die Breite eines Spalts 
$L$ ist der Abstand zum Schirm 
$y$ ist die Position am Schirm 
$\lambda$ ist die Wellenlänge 
Fernfeld: $L >> d,a,\lambda,y$

</td><td> </td><td><img src="formulas/doubleslit_2.png"></td></tr></table>

Bewegte Quellen Eine Quelle emitiert Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit $c$ fortbewegen. 
Wenn sich die Quelle mit einer Geschwindigkeit $v < c$ fortbewegt, nimmt der Beobachter eine höhere Frequenz wahr, wenn sich die Quelle auf den Beobachter zubewegt und eine niedrigere
Frequenz, wenn sich die Quelle vom Beobachter entfernt. Das ist der Dopplereffekt.
Wenn $\vec{r}_s(t)$ die Zeitabhängigkeit des Ortsvektors der Quelle und $\vec{r}_o(t)$ die Zeitabhängigkeit des Ortsvektors des Beobachters beschreibt, kann die Frequenz $\tilde{f}$, die der Beobachter zur Zeit $t_1$ wahrnimmt mit den folgenden Gleichungen berechnet werden,

$\large |\vec{r}_o(t_1) - \vec{r}_s(t_0)|=c(t_1 -t_0)$,
$\large |\vec{r}_o(t_2) - \vec{r}_s(t_0+T)|=c(t_2-t_0-T)$,
$\large \tilde{f}=\frac{1}{t_2-t_1}$.

Mit $c$, der Geschwindigkeit der Wellen. Bei gegebener Zeit $t_1$, lösen Sie die erste Gleichung für $t_0$. Dann lösen Sie die zweite Gleichung für $t_2$. 
Schließlich lösen sie die dritte Gleichung und erhalten $\tilde{f}$.

Apps: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/shockwave.de.php">Bewegte Quellen</a>, <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/doppler.de.php">Doppleeffekt</a>, 
<a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/graphsol.de.php">Graphische Lösungen</a>.

Wenn sich die Quelle mit einer höheren Geschwindigkeit als die Welle fortbewegt $(\frac{v}{c} < 1)$, wird eine kegelförmige <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Schockwelle">Schockwelle</a> produziert. 
Die Schockwelle bildet einen Winkel $\theta=\sin^{-1}(\frac{c}{v})$ mit der Geschwindigkeit der Quelle. Die Wellenfronten addieren sich konstruktiv auf dem Kegel und erzeugen ein lautes Geräsch.

Optik

Die Optik ist die Lehre von den Lichtwellen. Wie es bei diesen Wellen zu Interferenzmustern und Beugungserscheinungen kommt, ist im vorherigen Kapitel über Wellen zu lesen. Wenn alle Einzelteile eines optischen Systems (wie zum Beispiel Linsen) viel größer als die Wellenlänge des Lichtes sind, dann spricht man von der geometrischen Optik. In der geometrischen Optik werden Beugungseffekte ignoriert und Lichtwellen werden als Strahlen angesehen, die sich in einer geraden Linie fortbewegen. Eine wichtige Rolle spielt dabei das Snelliußche Brechungsgesetz, das beschreibt, wie Lichtstrahlen an Grenzflächen zwischen zwei verschiedenen Materialien mit unterschiedlichem Brechungsindex gebrochen werden.

\[ \begin{equation}
\large n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2.
\end{equation} \]

</td><td>   </td><td><img src="formulas/snell.png"> <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/script/waves/snell.de.php">Refraction app</a></td></tr></table>

Wenn $n_1 > n_2$, gibt es keine Lösungen für $ \theta_2 $ für $\sin \theta_1 > n_2 / n_1 $. Dieser Zustand führt zu einer Totalreflexion des Lichtstrahls. Mit dem Snelliußchen Brechungsgesetz und einigen geometrischen überlegungen ist es möglich zu berechnen, wie sich ein Lichtstrahl durch ein System von Linsen (die entlang der optischen Achse angeordnet sind) bewegt. Hat ein Lichtstrahl nur einen kleinen Winkel $\phi_i$ gegenüber der optischen Achse, so wird er nach dem überschreiten der gekrümmten Materialgrenze (z.B.: Licht-Glas) in eine andere Richtung abgelenkt.

\[ \begin{equation}
\large \phi_{i+1} = \frac{(n_i-n_{i+1})y_i}{R_{i}n_{i+1}}+\frac{n_i}{n_{i+1}}\phi_i.
\end{equation} \]

wobei $\phi_i$ [rad] der Winkel zur optischen Achse bevor der Strahl die Grenze trifft, $\phi_{i+1}$ [rad] der Winkel danach, $n_i$ der Brechungsindex des ersten Materials, $n_{i+1}$ des zweiten, $y_i$ [m] der Abstand zur optischen Achse beim überqueren der Grenze und $R_i$ [m] der Radius der gekrümmten Grenzfläche ist. Wenn $R_i < 0$, dann ist der Mittelpunkt der Krümmung auf der Seite wo sich der Strahl zuerst befindet. Wenn $R_i > 0$, dann befindet sich der Mittelpunkt auf der Seite wo der Strahl ist, nachdem er abgelenkt wurde.

Zwischen zwei verschiedenen Grenzflächen wird der Strahl nicht abgelenkt und bewegt sich auf einer geraden Linie.

\[ \begin{equation}
\large y_{i+1} = \phi_i(x_{i+1}-x_i)+y_i.
\end{equation} \]

Die zwei Gleichungen können dazu benutzt werden, um zu Berechnen wie ein Lichtstrahl durch <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/2lens2.de.php">optische Instrumente</a> wie zum Beispiel ein Mikroskop, ein Teleskop oder noch aufwendigere <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/ray.de.php">optische Systeme</a> hindurchgeht.

Man kann die Gleichungen ebenfalls benützen um die Brennweite einer Linse zu berechnen, die aus zwei gekrümmten kugelförmigen Oberflächen besteht. Wenn die Dicke der Linse bei $x=0$ gegenüber der Brennweite sehr klein ist, dann hängen der Abstand von der Linse zum Objekt $x_o$ [m], der Abstand von der Linse zur Abbildung $x_i$ [m] und die Brennweite $f$ [m] über die <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/thinlens.de.php">Abbildungsgleichung für dünne Linsen</a> voneinander ab.

\[ \begin{equation}
\Large -\frac{1}{x_o}+\frac{1}{x_i}= \frac{1}{f}.
\end{equation} \]






	Physik M 513.805 (511.015)